Чему равен корень квадратного уравнения. Квадратные уравнения – примеры с решением, особенности и формулы

Содержание
  1. Решение (корни) квадратного уравнения
  2. Решение полных квадратных уравнений
  3. Корни приведённого квадратного уравнения
  4. Теорема Виета
  5. Решение неполных квадратных уравнений
  6. Разложение квадратного трёхчлена на множители с применением корней квадратного уравнения
  7. Из истории решения квадратных уравнений
  8. Различные прикладные задачи на квадратные уравнения
  9. Решение квадратных уравнений
  10. Дискриминант
  11. Корни квадратного уравнения
  12. Неполные квадратные уравнения
  13. Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры
  14. Квадратное уравнение, его виды
  15. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
  16. Полные и неполные квадратные уравнения
  17. Решение уравнения a·x2=0
  18. Решение уравнения a·x2+c=0
  19. Формула корней для четных вторых коэффициентов
  20. Упрощение вида квадратных уравнений
  21. Связь между корнями и коэффициентами
  22. Квадратные уравнения
  23. Выделение полного квадрата
  24. Разложение квадратного трёхчлена на множители
  25. Прямая и обратная теоремы Виета
  26. Квадратные уравнения – примеры с решением, особенности и формулы
  27. Разобьём выражение на составляющие множители
  28. Пример
  29. Разложение выражения на множители
  30. Извлечение квадратного корня
  31. Вычисление пощади земельного участка

Решение (корни) квадратного уравнения

Чему равен корень квадратного уравнения. Квадратные уравнения - примеры с решением, особенности и формулы

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x – переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c – некоторые числа, причём a ≠ 0.

Например, квадратным является уравнение

2x² – 3x + 1 = 0,

в котором a = 2, b = – 3, c = 1.

В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом, c – свободным членом.

Уравнения вида ax² + bx = 0,

где c =0,

ax² + c = 0,

где b =0, и

ax² = 0,

где a =0 и b =0,

называются неполными квадратными уравнениями.

Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.

Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² – 4ac, которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:

– для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;

– для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).

График квадратичного трёхлена ax² + bx + c – левой части квадратного уравнения – представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y. Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения.

Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.

Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная – в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x.

1. Если дискриминант больше нуля (), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Они вычисляются по формулам:

и

.

Часто пишется так: .

2. Если дискриминант равен нулю (), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое – два равных действительных корня, которые равны .

3. Если дискриминант меньше нуля (), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых – дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, . О том, как это делается – в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений

Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:

.

В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:

,

Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 5. Найти корни квадратного уравнения:

.

В примере 2 нашли дискриминант этого уравнения:

.

Применим формулу корней квадратного уравнения . Отсюда , . Найденные корни квадратного уравнения равны друг другу, а это значит, что уравнение имеет единственный корень:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Корни приведённого квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение . Так как , то разделив обе части данного уравнения на a, получим уравнение . Полагая, что и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведённым.

Формула корней приведённого уравнения имеет вид:

.

Теорема Виета

Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна – b/a, а произведение равно с/a:

Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни и , то

Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.

Пример 6. Написать приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.

Иначе говоря, надо найти числа p и q такие, чтобы квадратное уравнение

имело корни и .

По формулам Виета , . Требуемое в условии задачи уравнение имеет вид

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Решение неполных квадратных уравнений

Пример 7. Решить квадратное уравнение .

Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, разложим его левую часть на множители. Получим

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: или . Решая уравнение , находим .

Следовательно, произведение обращается в нулю при и при . Поэтому числа 0 и 1/2 являются корнями неполного квадратного уравнения .

Пример 8. Решить квадратное уравнение .

Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, перенесём в его правую часть свободный член с противоположным знаком и разделим обе части уравнения на 3. Получим уравнение

.

Так как , то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не имеет действительных корней и эквивалентное ему неполное квадратное уравнение .

Разложение квадратного трёхчлена на множители с применением корней квадратного уравнения

Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:

.

Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.

Пример 9. Упростить выражение:

.

Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

.

Корни квадратного уравнения будут следующими:

.

Разложим квадратный многочлен на множители:

.

Упростили выражение, проще не бывает:

.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 10. Упростить выражение:

.

Решение. И числитель, и знаменатель – квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:

.

Корни первого квадратного уравнения будут следующими:

.

Находим дискриминант второго квадратного уравнения:

.

Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:

.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.

Из истории решения квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения “переоткрывалась” неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.).

Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации.

Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39).

Площадь большого квадрата равна (x + 5)². Она складывается из площади x² + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2, равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:

Различные прикладные задачи на квадратные уравнения

Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?

Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:

Произведём дальнейшие преобразования:

Получили квадратное уравнение, которое и решим:

Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень – положительный.

Ответ: в отрезке 20 м ткани.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?

Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:

Найдём дискриминант:

Найдём корни квадратного уравнения:

Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.

Ответ: в одном ящике взвешивают 12,5 кг ткани.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Другие темы в блоке “Школьная математика”

Действия со степенями и корнями Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Источник: https://function-x.ru/sq_equations.html

Решение квадратных уравнений

Чему равен корень квадратного уравнения. Квадратные уравнения - примеры с решением, особенности и формулы

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5×2 + 3x + 7 = 0;
  3. x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

\[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5×2 + 30 = 0;
  3. 4×2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5×2 + 30 = 0 ⇒ 5×2 = −30 ⇒ x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4×2 − 9 = 0 ⇒ 4×2 = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Источник: https://www.berdov.com/docs/equation/quadratic_equations/

Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры

Чему равен корень квадратного уравнения. Квадратные уравнения - примеры с решением, особенности и формулы

В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.

Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.

Квадратное уравнение, его виды

Определение 1

Квадратное уравнение – это уравнение, записанное как a·x2+b·x+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a не есть нуль.

Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.

Приведем пример для иллюстрации заданного определения: 9·x2+16·x+2=0;  7,5·x2+3,1·x+0,11=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Определение 2

Числа a, b и c – это коэффициенты квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, при этом коэффициент a носит название первого, или старшего, или коэффициента при x2, b – второго коэффициента, или коэффициента при x, а c называют свободным членом.

К примеру, в квадратном уравнении 6·x2−2·x−11=0 старший коэффициент равен 6, второй коэффициент есть −2, а свободный член равен −11. Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты b и/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида 6·x2−2·x−11=0, а не 6·x2+(−2)·x+(−11)=0.

Уточним также такой аспект: если коэффициенты a и/или b равны 1 или −1, то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении y2−y+7=0 старший коэффициент равен 1, а второй коэффициент есть −1.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.

Определение 3

Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен 1. При иных значениях старшего коэффициента квадратное уравнение является неприведенным.

Приведем примеры: квадратные уравнения x2−4·x+3=0, x2−x−45=0 являются приведенными, в каждом из которых старший коэффициент равен 1.

9·x2−x−2=0 – неприведенное квадратное уравнение, где первый коэффициент отличен от 1.

Любое неприведенное квадратное уравнение возможно преобразовать в приведенное уравнение, если разделить обе его части на первый коэффициент (равносильное преобразование). Преобразованное уравнение будет иметь такие же корни, как и заданное неприведенное уравнение или так же не иметь корней вовсе.

Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Пример 1

Задано уравнение 6·x2+18·x−7=0. Необходимо преобразовать  исходное уравнение в приведенную форму.

Решение

Cогласно указанной выше схеме разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 6. Тогда получим: (6·x2+18·x−7):3=0:3, и это то же самое, что: (6·x2):3+(18·x):3−7:3=0 и далее: (6:6)·x2+(18:6)·x−7:6=0. Отсюда: x2+3·x-116=0. Таким образом, получено уравнение, равносильное заданному.

Ответ:x2+3·x-116=0.

Полные и неполные квадратные уравнения

Обратимся к определению квадратного уравнения. В нем мы уточнили, что a≠0. Подобное условие необходимо, чтобы уравнение a·x2+b·x+c=0 было именно квадратным, поскольку при a=0 оно по сути преобразуется в линейное уравнение b·x+c=0.

В случае же, когда коэффициенты b и c равны нулю (что возможно, как по отдельности, так и совместно), квадратное уравнение носит название неполного.

Определение 4

Неполное квадратное уравнение – такое квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, где хотя бы один из коэффициентов b и c (или оба) равен нулю.

Полное квадратное уравнение – квадратное уравнение, в котором все числовые коэффициенты не равны нулю.

Порассуждаем, почему типам квадратных уравнений даны именно такие названия.

При b=0 квадратное уравнение примет вид a·x2+0·x+c=0, что то же самое, что a·x2+c=0. При c=0 квадратное уравнение записано как a·x2+b·x+0=0, что равносильно a·x2+b·x=0.

При b=0 и c=0 уравнение примет вид a·x2=0. Уравнения, которые мы получили, отличны от полного квадратного уравнения тем, что в их левых частях не содержится либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо обоих сразу.

Собственно, этот факт и задал название такому типу уравнений – неполное.

Например, x2+3·x+4=0 и −7·x2−2·x+1,3=0 – это полные квадратные уравнения; x2=0, −5·x2=0; 11·x2+2=0, −x2−6·x=0 – неполные квадратные уравнения.

Решение уравнения a·x2=0

Как уже было указано выше, такому уравнению отвечают коэффициенты b и c, равные нулю. Уравнение a·x2=0 возможно преобразовать в равносильное ему уравнение x2=0, которое мы получим, поделив обе части исходного уравнения на число a, не равное нулю.

Очевидный факт, что корень уравнения x2=0 это нуль, поскольку 02=0.

Иных корней это уравнение не имеет, что объяснимо свойствами степени: для любого числа p, не равного нулю, верно неравенство p2>0, из чего следует, что при p≠0 равенство p2=0 никогда не будет достигнуто.

Определение 5

Таким образом, для неполного квадратного уравнение a·x2=0 существует единственный корень x=0.

Пример 2

Для примера решим неполное квадратное уравнение −3·x2=0. Ему равносильно уравнение x2=0, его единственным корнем является x=0, тогда и исходное уравнение имеет единственный корень – нуль.

Кратко решение оформляется так:

−3·x2=0,x2=0,x=0.

Решение уравнения a·x2+c=0

На очереди – решение неполных квадратных уравнений, где b=0, c≠0, то есть уравнений вида a·x2+c=0. Преобразуем это уравнение, перенеся слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив знак на противоположный и разделив обе части уравнения на число, не равное нулю:

  • переносим c в правую часть, что дает уравнение a·x2=−c;
  • делим обе части уравнения на a, получаем в итоге x=-ca.

Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения.

От того, каковы значения a и c зависит значение выражения  -ca: оно может иметь знак  минус (допустим, если a=1 и c=2, тогда -ca=-21=-2 ) или знак плюс (например, если a=−2 и c=6, то -ca=-6-2=3 ); оно не равно нулю, поскольку c≠0. Подробнее остановимся на ситуациях, когда  -ca0.

В случае, когда -ca0, а это означает, что исходное уравнение будет иметь два действительных корня.
Для их нахождения используем формулу корня x=-b±D2·a и, подставив соответствующие значения, получим: x=-2±282·1. Упростим полученное выражение, вынеся множитель за знак корня с последующим сокращением дроби:

x=-2±2·72

x=-2+2·72 или x=-2-2·72

x=-1+7 или x=-1-7

Ответ: x=-1+7​​​​​​, x=-1-7.

Пример 7

Необходимо решить квадратное уравнение −4·x2+28·x−49=0.

Решение 

Определим дискриминант: D=282−4·(−4)·(−49)=784−784=0. При таком значении дискриминанта исходное уравнение будет иметь лишь один корень, определяемый по формуле x=-b2·a.

Тогда:

x=-282·(-4)x=3,5

Ответ:x=3,5.

Пример 8

Необходимо решить уравнение 5·y2+6·y+2=0

Решение

Числовые коэффициенты этого уравнения будут: a=5, b=6 и c=2. Используем эти значения для нахождения дискриминанта: D=b2−4·a·c=62−4·5·2=36−40=−4. Вычисленный дискриминант отрицателен, таким образом, исходное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

В случае, когда стоит задача указать комплексные корни, применим формулу корней, выполняя действия с комплексными числами:

x=-6±-42·5,

x=-6+2·i10 или x=-6-2·i10,

x=-35+15·i  или x=-35-15·i.

Ответ: действительные корни отсутствуют; комплексные корни следующие: -35+15·i, -35-15·i.

В школьной программе стандартно нет требования искать комплексные корни, поэтому, если в ходе решения дискриминант определен как отрицательный, сразу записывается ответ, что действительных корней нет.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней x=-b±D2·a (D=b2−4·a·c) дает возможность получить еще одну формулу, более компактную, позволяющую находить решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при x (либо с коэффициентом вида 2·n, к примеру, 2 · 3 или 14·ln5=2·7·ln5). Покажем, как выводится эта формула.

Пусть перед нами стоит задача найти решение квадратного уравнения a·x2+2·n·x+c=0. Действуем по алгоритму: определяем дискриминантD=(2·n)2−4·a·c=4·n2−4·a·c=4·(n2−a·c), а затем используем формулу корней:

x=-2·n±D2·a,x=-2·n±4·n2-a·c2·a,x=-2·n±2n2-a·c2·a,x=-n±n2-a·ca.

Пусть выражение n2−a·c будет обозначено как D1 (иногда его обозначают D'). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

 x=-n±D1a, где D1=n2−a·c.

Легко увидеть, что что D=4·D1, или D1=D4. Иначе говоря, D1 – это четверть дискриминанта. Очевидно, что знак D1 такой же, как знак D, а значит знак D1 также может служить индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Определение 11

Таким образом, чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом  2 · n , необходимо: 

  • найти D1=n2−a·c;
  • при D10 определить два действительных корня по формуле x=-n±D1a.

Пример 9

Необходимо решить квадратное уравнение 5·x2−6·x−32=0.

Решение

Второй коэффициент заданного уравнения можем представить как 2·(−3). Тогда перепишем заданное квадратное уравнение как 5·x2+2·(−3)·x−32=0, где a=5, n=−3 и c=−32.

Вычислим четвертую часть дискриминанта: D1=n2−a·c=(−3)2−5·(−32)=9+160=169. Полученное значение положительно, это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Определим их по соответствующей формуле корней:

x=-n±D1a,x=–3±1695,x=3±135,

x=3+135 или x=3-135

x=315 или x=-2

Возможно было бы произвести вычисления и по обычной формуле корней квадратного уравнения, но в таком случае решение было бы более громоздким.

Ответ: x=315 или x=-2.

Упрощение вида квадратных уравнений

Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.

К примеру, квадратное уравнение 12·x2−4·x−7=0 явно удобнее для решения, чем 1200·x2−400·x−700=0.

Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200·x2−400·x−700=0, полученную делением обеих его частей на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Как пример используем квадратное уравнение 12·x2−42·x+48=0. Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6. Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2·x2−7·x+8=0.

Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 16·x2+23·x-3=0 перемножить с НОК(6, 3, 1)=6, то оно станет записано в более простом виде x2+4·x−18=0.

Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на −1. К примеру, от квадратного уравнения −2·x2−3·x+7=0 можно перейти к упрощенной его версии 2·x2+3·x−7=0.

Связь между корнями и коэффициентами

Уже известная нам формула корней квадратных уравнений x=-b±D2·a выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:

x1+x2=-ba и x2=ca.

В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения 3·x2−7·x+22=0 возможно сразу определить, что сумма его корней равна 73, а произведение корней – 223.

Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:

x12+x22=(x1+x2)2-2·x1·x2=-ba2-2·ca=b2a2-2·ca=b2-2·a·ca2.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-kvadratnyh-uravnenij/

Квадратные уравнения

Чему равен корень квадратного уравнения. Квадратные уравнения - примеры с решением, особенности и формулы

Справочник по математикеАлгебраКвадратный трехчлен и квадратные уравнения

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax2 + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

(6)

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

      Формула (6) получена.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D  0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

(10)

      В случае, когда  D  0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

(12)
(13)

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

(14)

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

(15)

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax2 + bx + c == a (x – x1)2.(16)

      В случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c == a (x – x1) (x – x2) .(17)

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0, корни   x1 и   x2 совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax2 + bx + c =
= a (x – x1) (x – x2) =
= a [x2 – (x1 + x2) x + x1x2] =
= ax2 – a(x1 + x2) x + ax1x2 .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax2 + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax2 – a (x1 + x2) x + a x1x2 .

      Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

(18)

      Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

      Словами прямая теорема Виета формулируется так: – «Если числа   x1 и   x2 являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

      Обратная теорема Виета формулируется так: – «Если числа   x1 и   x2 являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

      Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

      Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/kv.htm

Квадратные уравнения – примеры с решением, особенности и формулы

Чему равен корень квадратного уравнения. Квадратные уравнения - примеры с решением, особенности и формулы

В современном обществе умение производить действия с уравнениями, содержащими переменную, возведённую в квадрат, может пригодиться во многих областях деятельности и широко применяется на практике в научных и технических разработках.

Свидетельством тому может служить конструирование морских и речных судов, самолётов и ракет. При помощи подобных расчётов определяют траектории перемещения самых разных тел, в том числе и космических объектов.

Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах.

Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.

Разобьём выражение на составляющие множители

Степень уравнения определяется максимальным значением степени у переменной, которую содержит данное выражение. В случае, если она равна 2, то подобное уравнение как раз и называется квадратным.

Если изъясняться языком формул, то указанные выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к виду, когда левая часть выражения состоит из трёх слагаемых.

Среди них: ax2 (то есть переменная, возведённая в квадрат со своим коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата со своим коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Всё это в правой части приравнивается 0.

В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из его составляющих слагаемых, за исключением ax2, оно называется неполным квадратным уравнением. Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.

Если выражение на вид выглядит таким образом, что слагаемых у выражения в правой части два, точнее ax2 и bx, легче всего отыскать х вынесением переменной за скобки. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x(ax+b).

Далее становится очевидно, что или х=0, или задача сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax+b=0. Указанное продиктовано одним из свойств умножения.

Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.

Пример

8×2 – 3x = 0

x(8x – 3) = 0

Далее действуем согласно только что описанному правилу.

x=0 или 8х – 3 = 0

В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.

Уравнения такого рода могут описывать перемещение тел под действием силы тяжести, начавших движение из определённой точки, принятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующую форму: y = v0t + gt2/2.

Подставив необходимые значения, приравняв правую часть 0 и найдя возможные неизвестные, можно узнать время, проходящее с момента подъёма тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом мы поговорим позднее.

Разложение выражения на множители

Описанное выше правило даёт возможность решать указанные задачи и в более сложных случаях. Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений такого типа.

X2 – 33x + 200 = 0

Этот квадратный трёхчлен является полным. Для начала преобразуем выражение и разложим его на множители. Их получается два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.

Примеры с решением квадратных уравнений в 9 классе позволяют данным методом находить переменную в выражениях не только второго, но даже третьего и четвёртого порядков.

Например: 2×3 + 2×2 – 18x – 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной, их получается три, то есть (x+1),(x-3) и (x+3).

В результате становится очевидно, что данное уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.

Извлечение квадратного корня

Другим случаем неполного уравнения второго порядка является выражение, на языке букв представленное таким образом, что правая часть строится из составляющих ax2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую сторону, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень.

Следует обратить внимание, что и в данном случае корней уравнения обычно бывает два. Исключением могут служить лишь только равенства, вообще не содержащие слагаемое с, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений вообще не существует, так как указанные выше действия невозможно производить с корнями.

Примеры решений квадратных уравнений такого типа необходимо рассмотреть.

3×2- 48 = 0

3×2 = 48

В данном случае корнями уравнения окажутся числа -4 и 4.

Вычисление пощади земельного участка

Потребность в подобного рода вычислениях появилась в глубокой древности, ведь развитие математики во многом в те далёкие времена было обусловлено необходимостью определять с наибольшей точностью площади и периметры земельных участков.

Примеры с решением квадратных уравнений, составленных на основе задач такого рода, следует рассмотреть и нам.

Итак, допустим имеется прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше, чем ширина. Следует найти длину, ширину и периметр участка, если известно, что его площадь равна 612 м2.

Приступая к делу, сначала составим необходимое уравнение. Обозначим за х ширину участка, тогда его длина окажется (х+16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением х(х+16), что, согласно условию нашей задачи, составляет 612. Это значит, что х(х+16) = 612.

Решение полных квадратных уравнений, а данное выражение является именно таковым, не может производиться прежним способом. Почему? Хотя левая часть его по-прежнему содержит два множителя, произведение их совсем не равно 0, поэтому здесь применяются другие методы.

Юрист ответит
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: