Прямоугольная трапеция онлайн калькулятор. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Содержание
  1. Расчет объема прямоугольной трапеции онлайн. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры
  2. Площадь равнобокой трапеции
  3. Площадь криволинейной трапеции
  4. Площадь трапеции
  5. Площадь равнобедренной трапеции
  6. Расчет площади прямоугольной трапеции онлайн калькулятор. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры
  7. Что нужно знать про трапецию?
  8. Формулы площади трапеции
  9. Равнобедренная трапеция
  10. Формула площади криволинейной трапеции
  11. Примеры задач
  12. Заключение
  13. Площадь трапеции
  14. Таблица с формулами площади трапеции
  15. Определения
  16. Площадь трапеции — формулы и калькулятор онлайн
  17. Площадь трапеции через высоту и основания
  18. Площадь трапеции через среднюю линию и высоту
  19. Площадь трапеции через 4 стороны
  20. Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
  21. Площадь трапеции через основания и углы при основании
  22. Площадь трапеции через площади треугольников
  23. Площадь трапеции через диагонали и высоту
  24. Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания
  25. Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали
  26. Площадь равнобедренной трапеции через ее основания и высоту
  27. Площадь равнобедренной трапеции через 3 ее стороны (формула Брахмагупты)
  28. Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
  29. Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
  30. Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол
  31. Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
  32. Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, среднюю линию и угол при основании
  33. Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

Расчет объема прямоугольной трапеции онлайн. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Прямоугольная трапеция онлайн калькулятор. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции.

Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон.

Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:
Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b= 7 см и боковыми сторонами c= 5 см, d= 4 см. найдем площадь фигуры:

Площадь равнобокой трапеции

Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.

Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!

То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции

Отдельный случай – это криволинейная трапеция. Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками: Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.Формула прописывается так:

Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:
Здесь F(a) – это значение первообразной функции f(x) в точке a, F(b)– значение этой же функции f(x) в точке b.

Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией . Функция Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком , справа прямой x={-8}, слева прямой x={-10} и осью OX снизу.Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:Теперь

Ответ: площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.

Трапеция – это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение.

Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.

Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

https://www.youtube.com/watch?v=vewUBFFPoRg

Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:

  1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
  2. У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
  3. Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
  4. Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
  5. Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
  6. Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
  7. Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.

Как найти площадь трапеции.

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:

где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.

Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции.

Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов.

А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.

В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.

Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция – вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная.

Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции – это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание – a, нижнее основание – b, а высота – h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

S = ½ * (a+b) * h

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию – m. Тогда

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции – a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 – диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 – a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция – это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция – это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

  • Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной – с, а и b – длины оснований:

  • Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а – верхнее основание, с – боковая сторона.

  • Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

  • Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

  • Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

  • Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона – с, средняя линия – m, угол – a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет – r.

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию – m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

  • Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

  • Другой способ рассчитать площадь – перемножить длину средней линии на высоту:

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

  • Следующий способ вычисления – через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ½ * d1 * d2

  • Еще один способ вычисления – через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

  • Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

где m – длина средней линии.

Расчет площади прямоугольной трапеции онлайн калькулятор. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Прямоугольная трапеция онлайн калькулятор. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.

Трапеция – это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение.

Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.

Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

https://www.youtube.com/watch?v=vewUBFFPoRg

Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:

  1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
  2. У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
  3. Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
  4. Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
  5. Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
  6. Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
  7. Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.

Как найти площадь трапеции.

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:

где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.

Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции.

Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов.

А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.

В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.

Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h.

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h. Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 /sinα. Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30 0: S = 8r 2.

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h 2.

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок ), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл.

А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке .

И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). И высчитать его площадь: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2 .

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5(b + х) * h 2 . Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними

Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

Источник: https://www.zarst.ru/raschet-ploshchadi-pryamougolnoi-trapecii-onlain-kalkulyator-kak.html

Площадь трапеции

Прямоугольная трапеция онлайн калькулятор. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

 → 

Геометрия

 → 

Площадь трапеции

Площадь трапеции, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн и сводная таблица с формулами площади трапеции. Приведены формулы для всех типов трапеций и частные случаи для равнобедренных трапеций.

Таблица с формулами площади трапеции (в конце страницы)

– Вычисления   (показано)   (скрыто)

– примечания   (показано)   (скрыто)

1

… подготовка …

a – основание

b – основание

h – высота

2

… подготовка …

m – средняя линия

h – высота

3

… подготовка …

a – основание

b – основание

c – сторона

d – сторона

4

… подготовка …

d1 – диагональ

d2 – диагональ

α° – угол между диагоналями

5

… подготовка …

a – основание

b – основание

α° – угол при основании

β° – угол при основании

6

… подготовка …

a – сторона

b – сторона

c – сторона

7

… подготовка …

a – основание

c – сторона

α° – угол при основании

8

… подготовка …

b – основание

c – сторона

α° – угол при основании

9

… подготовка …

a – основание

b – основание

α° – угол при основании

10

… подготовка …

d – диагональ

α° – угол между диагоналями

11

… подготовка …

m – средняя линия

c – сторона

α° – угол между сторонами

12

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

r – радиус вписанной окружности

α° – угол между сторонами

13

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

a – основание

b – основание

r – радиус вписанной окружности

14

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

a – основание

b – основание

α° – угол при основании

15

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

a – основание

b – основание

c – сторона

16

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

a – основание

b – основание

m – средняя линия

Примечание:

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Таблица с формулами площади трапеции

В зависимости от известных исходных данных и вида трапеции, площадь трапеции можно вычислить по различным формулам.

Определения

Площадь трапеции – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), два из которых параллельны друг другу

Трапеция – это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), два из которых параллельны друг другу.

Основания трапеции – это параллельные стороны трапеции. Трапеция имеет большое и малое основание.

Средняя линия трапеции – это отрезок соединяющий середины боковых сторон трапеции и при этом всегда параллельный основаниям трапеции.

Высота трапеции – это отрезок проведенный между основаниями трапеции под углом 90 градусов к каждому из снований.

Сумма углов трапеции равна 360 градусов.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Источник: https://doza.pro/art/math/geometry/area-trapezium

Площадь трапеции — формулы и калькулятор онлайн

Прямоугольная трапеция онлайн калькулятор. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры
Площадь трапеции можно найти множеством способов. Для вас мы собрали все возможные варианты нахождения площади.

Для вашего удобства для каждой формулы создан калькулятор, который поможет рассчитать площадь трапеции по известным данным. От вас требуется только подставить значения и в режиме онлайн мгновенно получить ответ.

Формулы и калькуляторы сгруппированы по типам трапеций — обычная, равнобедренная (равнобокая), прямоугольная.

Площадь трапеции через высоту и основания

{S= \dfrac{1}{2} (a+b) \cdot h}

Формула для нахождения площади трапеции через высоту и основания: {S= \dfrac{1}{2} (a+b) \cdot h}, где a, b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

{S= m \cdot h}

Формула для нахождения площади трапеции через высоту и среднюю линию: {S= m \cdot h}, где m — средняя линия трапеции, h — высота трапеции.

Площадь трапеции через 4 стороны

формула ниже

Формула для нахождения площади трапеции через четыре стороны: {S=\dfrac{a+b}{2}\sqrt{c2-\Big(\dfrac{(a-b)2+c2-d2}{2 (a-b)}\Big)2}}, где a, b — основания трапеции, c, d — боковые стороны трапеции.

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

{S= \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot sin(\alpha)}

{S= \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot sin(\beta)}

Формула для нахождения площади трапеции через диагонали и угол между ними: {S= \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot sin(\alpha)}, где d1, d2 — диагонали трапеции, α — угол между диагоналями. Вместо угла α можно использовать угол β в соответствии с тем, что углы смежные и по формуле приведения для смежных уголов {sin(\alpha) = sin(180\degree — \alpha) = sin(\beta)}

Площадь трапеции через основания и углы при основании

формула ниже

Формула для нахождения площади трапеции через основания и углы при основании: {S=\dfrac{(b2-a2)}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\alpha+\beta)}}, где a, b — основания трапеции, α, β — углы при основании трапеции.

Площадь трапеции через площади треугольников

{S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})2}

Формула для нахождения площади трапеции через площади треугольников: {S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})2}, где S1, S2 — площади треугольников.

Площадь трапеции через диагонали и высоту

{S=\dfrac{\sqrt{d_22-h2}+\sqrt{d_12-h2}}{2} \cdot h}

Формула для нахождения площади трапеции через диагонали и высоту: {S=\dfrac{\sqrt{d_22-h2}+\sqrt{d_12-h2}}{2} \cdot h}, где d1, d2 — диагонали трапеции, h — высота трапеции.

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

{S= (a+b) \cdot r}

Формула для нахождения площади трапеции через радиус вписанной окружности и основания: {S=(a+b)\cdot r}, где a, b — основания трапеции, r — радиус вписанной окружности.

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

{S= \dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2}

Формула для нахождения площади трапеции через перпендикулярные диагонали: {S=\dfrac{1}{2}d_1 \cdot d_2}, где d1, d2 — диагонали трапеции (перпендикулярные).

Площадь равнобедренной трапеции через ее основания и высоту

{S= \dfrac{a+b}{2} \cdot h}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания и высоту: {S= \dfrac{a+b}{2} \cdot h}, где a, b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции через 3 ее стороны (формула Брахмагупты)

{S= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)2}}

{p=\dfrac{a+b+2c}{2}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты): {S= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)2}}, где a, b — основания трапеции, c — боковая сторона, p — полупериметр трапеции. {p=\dfrac{a+b+2c}{2}}

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S= c \cdot sin\alpha \cdot (a+c\cdot cos\alpha)}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании: {S= c \cdot sin\alpha \cdot (a+c\cdot cos\alpha)}, где a — верхнее основание трапеции, c — боковая сторона трапеции, α — угол при нижнем основании.

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S= c \cdot sin\alpha \cdot (b-c\cdot cos\alpha)}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании: {S= c \cdot sin\alpha \cdot (b-c\cdot cos\alpha)}, где b — нижнее основание трапеции, c — боковая сторона трапеции, α — угол при нижнем основании.

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

{S= \dfrac{1}{2} (b2-a2) \cdot tg\alpha}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и угол: {S= \dfrac{1}{2} (b2-a2) \cdot tg\alpha}, где a, b — основания трапеции, α — угол при нижнем основании.

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

{S= \dfrac{1}{2} d2 \cdot sin\alpha}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между диагоналями: {S= \dfrac{1}{2} d2 \cdot sin\alpha}, где d — диагональ трапеции, α — угол между диагоналями.

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, среднюю линию и угол при основании

{S= m\cdot c\cdot sin \alpha}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через боковую сторону, среднюю линию и угол при основании: {S= m \cdot c \cdot sin\alpha}, где m — средняя линия трапеции, c — боковая сторона трапеции, α — угол при основании.

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

{S= \dfrac{4r2}{sin\alpha}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании: {S= \dfrac{4r2}{sin\alpha}}, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.

{S= \dfrac{h2}{sin\alpha}}

{S= \dfrac{D2}{sin\alpha}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании:

{S= \dfrac{h2}{sin\alpha}}, где h — высота трапеции, α — угол при основании.

{S= \dfrac{D2}{sin\alpha}}, где D — диаметр вписанной окружности, α — угол при основании.

{S= \dfrac{ab}{sin\alpha}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и угол при основании: {S= \dfrac{ab}{sin\alpha}}, где a, b — основания трапеции, α — угол при основании.

{S= r(a+b)}

{r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и радиус вписанной окружности:

{S= r(a+b)}

{r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}},

где a, b — основания трапеции, r — радиус вписанной окружности.

{S= \sqrt{ab}\cdot \dfrac{a+b}{2}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания: {S= \sqrt{ab}\cdot \dfrac{a+b}{2}}, где a, b — основания трапеции.

{S= c \cdot \sqrt{ab}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания и боковую сторону: {S= c \cdot \sqrt{ab}}, где a, b — основания трапеции, c — боковая сторона трапеции.

{S= m \cdot \sqrt{ab}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания и среднюю линию: {S= m \cdot \sqrt{ab}}, где a, b — основания трапеции, m — средняя линия трапеции.

Просмотров страницы: 92270

Источник: https://mnogoformul.ru/ploshhad-trapecii-formuly-i-kalkulyator-online

Юрист ответит
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: