Синус половины угла формула. Формулы половинного угла в тригонометрии

Тригонометрия – синус, косинус, тангенс, котангенс

Возьмём x-axis и y-axis (orthonormal) и пусть O будет началом. Окружность с центром в точке O и с радиусом = 1известна как тригонометрическая окружность или единичная окружность.Если P точка на окружности и t это угол между PO и x тогда:

• x-координата P называется косинусом t. Записывается как cos(t);
• y-координата P называется синусом t. Записывается как sin(t);
• Число sin(t)/cos(t) называется тангенсом t. Записывается как tg(t);
• число cos(t)/sin(t) называется котангенсом t. Записывается как ctg(t).

sin : R -> R
Все тригонометрические функции являются периодическими.

Период синуса равен 2π.
Диапазон функции: [-1,1].

Функция косинуса

cos : R -> R
Период косисинуса равен 2π.
Диапазон функции: [-1,1].

Функция тангенса

tg : R -> R
Диапазон функции равен R.В этом случае период равенπ и функия не может быть определена для
x = (π/2) + kπ, k=0,1,2,…
График функции тангенса в интервале 0 – π

Анимираная графика тангенса(открыть в новом окне):
График функции тангенса в интервале 0 – 2π

Функция котангенса

ctg : R -> R
Диапазон функции равен R.В этом случае период равен π и функция не может быть определена для
x = kπ, k=0,1,2,…

Значения sin, cos, tan, cot при значениях углов 0°, 30°, 60°, 90°, 120°,135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°

Самый простой способ, чтобы запомнить основные значения sin и cosуглов 0°, 30°, 60°, 90°:
sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = $\sqrt{\frac{[0, 1, 2, 3, 4]}{4}}$

Тригонометрические тождества

Для t радиан одна точка соответствует с координатами P(cos(t),sin(t)) на единичной окружности. Квадрат расстояния [OP] = 1. Вычисляя расстояние для этой точки с координатами P, для каждого t мы получим:

cos2(t) + sin2(t) = 1

Если t + t' = 180° тогда:

• sin(t) = sin(t')
• cos(t) = -cos(t')
• tg(t) = -tg(t')
• ctg(t) = -ctg(t')

Если t + t' = 90° тогда:

• sin(t) = cos(t')
• cos(t) = sin(t')
• tg(t) = ctg(t')
• ctg(t) = tg(t')

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или ||

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте ||| или |V

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |V

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |||

$tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ ctg }\alpha$

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ ctg }\alpha$

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

$\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$

$\cos(2u) = \cos2(u) – \sin2(u) = 2\cos2(u) – 1 = 1 – 2\sin2(u)$

$\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }2(u)}$

$\cos(2u) = \frac{1 – \textrm{ tg }2(u)}{1 + \textrm{ tg }2(u)}$

$\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }2(u)}$

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha – 4 \sin3\alpha$

$\cos3\alpha = 4\cos3\alpha – 3 \cos\alpha$

$\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ tg }3\alpha}{1-3\textrm{ tg }2\alpha}$

$\textrm{ ctg }3\alpha=\frac{\textrm{ ctg }3\alpha-3\textrm{ ctg }\alpha}{3\textrm{ ctg }2\alpha-1}$

$\sin4\alpha = 4\cos3\alpha\sin\alpha – 4\cos\alpha \sin3\alpha$

$\cos4\alpha = \cos4\alpha – 6\cos2\alpha\sin2\alpha + \sin4\alpha$

$\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha – 4\textrm{ tg }3\alpha}{1-6\textrm{ tg }2\alpha+\textrm{ tg }4\alpha}$

$\textrm{ ctg }4\alpha=\frac{\textrm{ ctg }4\alpha-6\textrm{ ctg }2\alpha+1}{4\textrm{ ctg }3\alpha-4\textrm{ ctg }\alpha}$

Формулы понижения степени

$\sin2(\alpha)=\frac{1 – \cos(2\alpha)}{2}$

$\sin3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha – \sin(3\alpha)}{4}$

$\sin4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) – 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$

$\cos2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

$\cos3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$

$\cos4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$

Формулы сложения

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\sin(\alpha – \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha – \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 – \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$

$\textrm{ ctg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ ctg }(\beta)\textrm{ ctg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ ctg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma – \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma – \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma – \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $
$- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma – \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma – \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 – \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta – \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma – \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

$\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha – \beta}{2}$

$\textrm{ sin } \alpha – \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha – \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha – \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha – \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha – \beta}{2}$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha + \textrm{ ctg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha – \textrm{ ctg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

Формулы произведения

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha – \beta) – \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha – \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha – \beta))$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha-\textrm{ ctg }\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

Универсальная тригонометрическая подстановка

$\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{ctg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$

Другие формулы

$1\pm\sin\alpha=2\sin2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$

$\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

$\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }2\frac{\alpha}{2}$

$\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$

$\frac{\textrm{ ctg }\alpha + 1}{\textrm{ ctg }\alpha – 1} = \textrm{ ctg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ ctg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$

$\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ ctg }\alpha = -2\textrm{ ctg }2\alpha$

Тригонометрия на страницах математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/trigonometriya.html

Тригонометрия

К оглавлению…

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
4. Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению…

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

• Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
• Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
• При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

К оглавлению…

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

• Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
• Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
• Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь).

В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка.

Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Источник: https://educon.by/index.php/materials/math/trigonometria

Формулы приведения: таблица тригонометрических функций по геометрии для 10 класса и основные формулы для синуса или косинуса

Формулы приведения! Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду.

О важности их знания  написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!

Формулы приведения. Как запомнить?

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы  в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо  запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!»  – это значит, что  действительно,  это необходимо  именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

• задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
• задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
• задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
• стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от  0 до 450 градусов

Формулы приведения:

Угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов.

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

• Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

Запомните следующее:

• Функция изменяется на кофункцию

• Функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

• Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов.
• Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов.
• Угол лежит во второй  четверти, синус во второй  четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов.

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

В статье на решение прямоугольного треугольника был отмечен такой факт  –  синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

И наоборот – косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого острого угла в нём. Вот вам и подтверждение этого с помощью формул приведения.

Конечно, определить  значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.

В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 10500, -7500, 23700 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!

Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию. На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.

Источник:

Формулы приведения

Рассмотрим рисунок 1.

На этом рисунке

Следовательно, справедливы формулы:

Откуда вытекают формулы:

Формулы (1), (2) называют формулами приведения.

Таблица формул приведения

В целом формулы приведения удобно представить в виде следующей таблицы.

Источник:

Формулы приведения в тригонометрии

В тригонометрии, вообще, очень много разных формул. Их количество ни в коем случае не должно пугать школьника. Для того, чтобы успешно сдать ЕГЭ нужно не зубрить наизусть основные тригонометрические тождества, а понять их суть. Для многих формул разработаны даже специальные мнемонические правила, чтобы их можно было проще запомнить.

Один из самых сложных и запутанных, на взгляд ученика средней школы, раздел тригонометрических выражений – это формулы приведения. Для чего же они нужны? Отбросив вступление, скажем сразу — формулы приведения позволяют заменить функцию на кофункцию. Например, если в задании стоит синус α, его можно заменить на косинус α, и наоборот.

Функция Кофункция

Мнемонические правила формул приведения

Мнемоника – это совокупность правил, приемов и подсказок, облегчающих запоминание информации, путем создания устойчивых ассоциаций. Для подобных «правил» используют яркие и необычные образы. Всем известны «пифагоровы штаны» и стишок глаголов на спряжение:

Оба примера являются яркой иллюстрацией мнемонических правил.

Чтобы быстро и безошибочно восстановить любую формулу приведения необходимо выполнить три пункта:

1. Представить исходный аргумент в требуемом виде: (π±α), (2π±α),  (π/2±α) или (3π/2±α).
2. Определить какой знак имеет исходная функция в требуемой четверти.
3. Заменить при необходимости функцию на кофункцию: в случаях (π±α)  и (2π±α) функция не меняется,а при (π/2±α) или (3π/2±α)  происходит смена тригонометрического выражения при аргументе.

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kak-zapomnit-formuly-privedeniya.html

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.

  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos 150 ° = − 3 2

sin 150 ° = 1 2

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β:

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Источник: https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/

Формулы половинного угла тригонометрических функций

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи здесь!!!

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул.

Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `\frac{\alpha}2` через эти ж функции аргумента `\alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла.

Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Список всех формул половинного угла

Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}“cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}“tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1+cos \ \alpha}=\frac {1-cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`

`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1-cos \ \alpha}=\frac {1+cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`

Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `\frac{\alpha}2`.

Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

`sin2 \ \frac \alpha 2=\frac {1-cos \ \alpha}2“cos2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}2“tg2 \ \frac \alpha 2=\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}`

`ctg2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}`

Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `\alpha`.

Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `\alpha`, при которых определен `tg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alphae\pi+2\pi n, \ n \in Z`.

Формула котангенса выполняется для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alphae 2\pi n, \ n \in Z`.

С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `\alpha` через тангенс половинного угла.

`sin \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + tg{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alphae \pi +2\pi n, n \in Z“cos \ \alpha= \frac{1 — tg{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + tg{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha e \pi +2\pi n, n \in Z“tg \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 — tg{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha e \pi +2\pi n, n \in Z,` ` \alpha e \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z`

`ctg \ \alpha = \frac{1 — tg{2}\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha e \pi n, n \in Z,` `\alpha e \pi + 2\pi n, n \in Z`

Вывод формул половинного угла

Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos2 \alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos \alpha=1-2 \ sin2 \frac \alpha 2` и `cos \alpha=2 \ cos2 \frac \alpha 2-1`.

Выразив из первого равенства ` sin \frac \alpha 2` получим `sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos \frac \alpha 2` в результате будем иметь `cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`.

Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg \frac \alpha 2=\frac{sin\frac \alpha 2}{cos \frac \alpha 2}` и `ctg \frac \alpha 2=\frac{cos \frac \alpha 2}{sin \frac \alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

В результате будем иметь: `tg \frac \alpha 2=\frac{sin\frac \alpha 2}{cos \frac \alpha 2}=` `\frac{\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}}{\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}}=` `\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}` и `ctg \frac \alpha 2=\frac{cos\frac \alpha 2}{sin \frac \alpha 2}=` `\frac{\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}}{\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}}=` `\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}`.

Примеры использования при решении задач

Пример 1. Найти `cos 15\circ`, если известно, что `cos 30\circ=\frac{\sqrt3}2`.

Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}2`.

Подставив известные значения, имеем `cos2 15\circ=\frac {1+cos 30\circ}2=` `\frac{1+\frac{\sqrt3}2}2=\frac{2+\sqrt3}4`. Имея значение `cos2 15\circ`, найдем `cos 15\circ`.

Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15\circ=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}4}=` `\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.

Ответ. `cos 15\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.

Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos \frac {\alpha}2+2cos \alpha+5`, если `cos \alpha=\frac {1}8`.

Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4\sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}+2cos \alpha+5=4\sqrt{\frac {1+\frac {1}8}2}+2 \cdot \frac {1}8+5=` `4\sqrt{\frac {9}16}+\frac{1}4+5=8\frac{1}4`.

Ответ. `4cos \frac {\alpha}2+2cos \alpha+5=8\frac{1}4`.

Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

(4 , рейтинг: 4,00 с 5)
Загрузка…

Источник: https://matemonline.com/dh/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F/formuly-polovinnogo-ugla/