Синус половины угла формула. Формулы половинного угла в тригонометрии

Содержание
  1. Тригонометрия – синус, косинус, тангенс, котангенс
  2. Функция косинуса
  3. Функция тангенса
  4. Функция котангенса
  5. Значения sin, cos, tan, cot при значениях углов 0°, 30°, 60°, 90°, 120°,135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°
  6. Тригонометрические тождества
  7. Формулы двойного, тройного и т.д. угла
  8. Формулы понижения степени
  9. Формулы сложения
  10. Формулы суммы и разности тригонометрических функций
  11. Формулы произведения
  12. Универсальная тригонометрическая подстановка
  13. Другие формулы
  14. Тригонометрия на страницах математического форума
  15. Тригонометрия
  16. Основные тригонометрические формулы
  17. Дополнительные тригонометрические формулы
  18. Тригонометрические формулы приведения
  19. Тригонометрическая окружность
  20. Тригонометрические уравнения
  21. Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
  22. Нашли ошибку?
  23. Формулы приведения: таблица тригонометрических функций по геометрии для 10 класса и основные формулы для синуса или косинуса
  24. Формулы приведения. Как запомнить?
  25. Формулы приведения
  26. Таблица формул приведения
  27. Формулы приведения в тригонометрии
  28. Мнемонические правила формул приведения
  29. Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
  30. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  31. Тригонометрия: Тригонометрический круг
  32. Основное тригонометрическое тождество
  33. Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
  34. Тригонометрия: градусы и радианы
  35. Тригонометрия: Формулы приведения
  36. Тригонометрия: Теорема синусов
  37. Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
  38. Тригонометрия: Теорема косинусов
  39. Примеры решений заданий из ОГЭ
  40. Формулы половинного угла тригонометрических функций
  41. Список всех формул половинного угла
  42. Вывод формул половинного угла
  43. Примеры использования при решении задач

Тригонометрия – синус, косинус, тангенс, котангенс

Синус половины угла формула. Формулы половинного угла в тригонометрии
Возьмём x-axis и y-axis (orthonormal) и пусть O будет началом. Окружность с центром в точке O и с радиусом = 1известна как тригонометрическая окружность или единичная окружность.Если P точка на окружности и t это угол между PO и x тогда:

  • x-координата P называется косинусом t. Записывается как cos(t);
  • y-координата P называется синусом t. Записывается как sin(t);
  • Число sin(t)/cos(t) называется тангенсом t. Записывается как tg(t);
  • число cos(t)/sin(t) называется котангенсом t. Записывается как ctg(t).

sin : R -> R
Все тригонометрические функции являются периодическими.

Период синуса равен 2π.
Диапазон функции: [-1,1].

Функция косинуса

cos : R -> R
Период косисинуса равен 2π.
Диапазон функции: [-1,1].

Функция тангенса

tg : R -> R
Диапазон функции равен R.В этом случае период равенπ и функия не может быть определена для
x = (π/2) + kπ, k=0,1,2,…
График функции тангенса в интервале 0 – π

Анимираная графика тангенса(открыть в новом окне):
График функции тангенса в интервале 0 – 2π

Функция котангенса

ctg : R -> R
Диапазон функции равен R.В этом случае период равен π и функция не может быть определена для
x = kπ, k=0,1,2,…

Значения sin, cos, tan, cot при значениях углов 0°, 30°, 60°, 90°, 120°,135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°

$\alphao$$0o$$30o$$45o$$60o$$90o$$120o$$135o$$150o$$180o$$210o$$225o$$240o$$270o$$300o$$315o$$330o$$360o$
$\alpha rad$$0$$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{4}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{2}$$\frac{2\pi}{3}$$\frac{3\pi}{4}$$\frac{5\pi}{6}$$\pi$$\frac{7\pi}{6}$$\frac{5\pi}{4}$$\frac{4\pi}{3}$$\frac{3\pi}{2}$$\frac{5\pi}{3}$$\frac{7\pi}{4}$$\frac{11\pi}{6}$$2\pi$
$sin\alpha$$0$$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$1$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{1}{2}$$0$$-\frac{1}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$-1$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{1}{2}$$0$
$cos\alpha$$1$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{1}{2}$$0$$-\frac{1}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$-1$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{1}{2}$$0$$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$1$
$tan\alpha$$0$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$1$$\sqrt{3}$$-$$-\sqrt{3}$$-1$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$0$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$1$$\sqrt{3}$$-$$-\sqrt{3}$$-1$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$0$
$cot\alpha$$-$$\sqrt{3}$$1$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$0$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$-1$$-\sqrt{3}$$-$$\sqrt{3}$$1$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$0$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$-1$$-\sqrt{3}$$-$

Самый простой способ, чтобы запомнить основные значения sin и cosуглов 0°, 30°, 60°, 90°:
sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = $\sqrt{\frac{[0, 1, 2, 3, 4]}{4}}$

Тригонометрические тождества

Для t радиан одна точка соответствует с координатами P(cos(t),sin(t)) на единичной окружности. Квадрат расстояния [OP] = 1. Вычисляя расстояние для этой точки с координатами P, для каждого t мы получим:

cos2(t) + sin2(t) = 1

Если t + t' = 180° тогда:

  • sin(t) = sin(t')
  • cos(t) = -cos(t')
  • tg(t) = -tg(t')
  • ctg(t) = -ctg(t')

Если t + t' = 90° тогда:

  • sin(t) = cos(t')
  • cos(t) = sin(t')
  • tg(t) = ctg(t')
  • ctg(t) = tg(t')
$-\alpha$$90\circ – \alpha$$90\circ + \alpha$$180\circ – \alpha$
$\textrm{ sin }$$-\textrm{ sin }\alpha$$\textrm{ cos }\alpha$$\textrm{ cos } \alpha$$\textrm{ sin }\alpha$
$\textrm{ cos }$$\textrm{ cos }\alpha$$\textrm{ sin }\alpha$$-\textrm{ sin} \alpha$$-\textrm{ cos }\alpha$
$\textrm{ tg }$$-\textrm{ tg }\alpha$$\textrm{ ctg }\alpha$$-\textrm{ ctg } \alpha$$-\textrm{ tg }\alpha$
$\textrm{ ctg }$$-\textrm{ ctg }\alpha$$\textrm{ tg }\alpha$$-\textrm{ tg } \alpha$$-\textrm{ ctg }\alpha$

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или ||

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте ||| или |V

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |V

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |||

$tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ ctg }\alpha$

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ ctg }\alpha$

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

$\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$

$\cos(2u) = \cos2(u) – \sin2(u) = 2\cos2(u) – 1 = 1 – 2\sin2(u)$

$\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }2(u)}$

$\cos(2u) = \frac{1 – \textrm{ tg }2(u)}{1 + \textrm{ tg }2(u)}$

$\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }2(u)}$

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha – 4 \sin3\alpha$

$\cos3\alpha = 4\cos3\alpha – 3 \cos\alpha$

$\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ tg }3\alpha}{1-3\textrm{ tg }2\alpha}$

$\textrm{ ctg }3\alpha=\frac{\textrm{ ctg }3\alpha-3\textrm{ ctg }\alpha}{3\textrm{ ctg }2\alpha-1}$

$\sin4\alpha = 4\cos3\alpha\sin\alpha – 4\cos\alpha \sin3\alpha$

$\cos4\alpha = \cos4\alpha – 6\cos2\alpha\sin2\alpha + \sin4\alpha$

$\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha – 4\textrm{ tg }3\alpha}{1-6\textrm{ tg }2\alpha+\textrm{ tg }4\alpha}$

$\textrm{ ctg }4\alpha=\frac{\textrm{ ctg }4\alpha-6\textrm{ ctg }2\alpha+1}{4\textrm{ ctg }3\alpha-4\textrm{ ctg }\alpha}$

Формулы понижения степени

$\sin2(\alpha)=\frac{1 – \cos(2\alpha)}{2}$

$\sin3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha – \sin(3\alpha)}{4}$

$\sin4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) – 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$

$\cos2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

$\cos3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$

$\cos4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$

Формулы сложения

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\sin(\alpha – \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha – \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 – \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$

$\textrm{ ctg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ ctg }(\beta)\textrm{ ctg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ ctg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma – \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma – \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma – \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $
$- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma – \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma – \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 – \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta – \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma – \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

$\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha – \beta}{2}$

$\textrm{ sin } \alpha – \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha – \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha – \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha – \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha – \beta}{2}$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha + \textrm{ ctg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha – \textrm{ ctg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

Формулы произведения

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha – \beta) – \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha – \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha – \beta))$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha-\textrm{ ctg }\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

Универсальная тригонометрическая подстановка

$\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{ctg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$

Другие формулы

$1\pm\sin\alpha=2\sin2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$

$\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

$\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }2\frac{\alpha}{2}$

$\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$

$\frac{\textrm{ ctg }\alpha + 1}{\textrm{ ctg }\alpha – 1} = \textrm{ ctg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ ctg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$

$\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ ctg }\alpha = -2\textrm{ ctg }2\alpha$

Тригонометрия на страницах математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/trigonometriya.html

Тригонометрия

Синус половины угла формула. Формулы половинного угла в тригонометрии

К оглавлению…

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

  1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
  2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
  3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
  4. Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению…

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

  • Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
  • Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
  • При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

К оглавлению…

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

  • Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
  • Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
  • При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
  • Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
  • Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
  • Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
  • Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь).

В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка.

Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Источник: https://educon.by/index.php/materials/math/trigonometria

Формулы приведения: таблица тригонометрических функций по геометрии для 10 класса и основные формулы для синуса или косинуса

Синус половины угла формула. Формулы половинного угла в тригонометрии

Формулы приведения! Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду.

О важности их знания  написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!

Формулы приведения. Как запомнить?

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы  в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо  запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!»  – это значит, что  действительно,  это необходимо  именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

  • задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
  • задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
  • задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
  • стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от  0 до 450 градусов

Формулы приведения:

Угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов.

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

  • Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

Запомните следующее:

  • Функция изменяется на кофункцию
  • Функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

  • Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов.
  • Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов.
  • Угол лежит во второй  четверти, синус во второй  четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов.

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

В статье на решение прямоугольного треугольника был отмечен такой факт  –  синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

И наоборот – косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого острого угла в нём. Вот вам и подтверждение этого с помощью формул приведения.

Конечно, определить  значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.

В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 10500, -7500, 23700 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!

Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию. На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.

Источник:

Формулы приведения

Рассмотрим рисунок 1.

На этом рисунке

Следовательно, справедливы формулы:

(1)

Откуда вытекают формулы:

(2)

Формулы (1), (2) называют формулами приведения.

Таблица формул приведения

В целом формулы приведения удобно представить в виде следующей таблицы.

АргументФормула приведения
синускосинустангенскотангенс
– α– sin αcos α
cos αsin α
cos α– sin α
π – αsin α– cos α
π + α– sin α– cos α
– cos α– sin α
– cos αsin α
2π – α– sin αcos α
2π + αsin αcos α
sin (– α) = – sin α;
cos (– α) = cos α;
sin (π – α) = sin α;
cos (π – α) = – cos α;
sin (π + α) = – sin α
cos (π + α) = – cos α
sin (2π – α) = – sin α
cos (2π – α) = cos α
sin (2π + α) = sin α
cos (2π + α) = cos α

Источник:

Формулы приведения в тригонометрии

В тригонометрии, вообще, очень много разных формул. Их количество ни в коем случае не должно пугать школьника. Для того, чтобы успешно сдать ЕГЭ нужно не зубрить наизусть основные тригонометрические тождества, а понять их суть. Для многих формул разработаны даже специальные мнемонические правила, чтобы их можно было проще запомнить.

Один из самых сложных и запутанных, на взгляд ученика средней школы, раздел тригонометрических выражений – это формулы приведения. Для чего же они нужны? Отбросив вступление, скажем сразу — формулы приведения позволяют заменить функцию на кофункцию. Например, если в задании стоит синус α, его можно заменить на косинус α, и наоборот.

Функция Кофункция

sin αcos α
cos αsin α
tg αctg α
ctg αtg α

Мнемонические правила формул приведения

Мнемоника – это совокупность правил, приемов и подсказок, облегчающих запоминание информации, путем создания устойчивых ассоциаций. Для подобных «правил» используют яркие и необычные образы. Всем известны «пифагоровы штаны» и стишок глаголов на спряжение:

Оба примера являются яркой иллюстрацией мнемонических правил.

Чтобы быстро и безошибочно восстановить любую формулу приведения необходимо выполнить три пункта:

  1. Представить исходный аргумент в требуемом виде: (π±α), (2π±α),  (π/2±α) или (3π/2±α).
  2. Определить какой знак имеет исходная функция в требуемой четверти.
  3. Заменить при необходимости функцию на кофункцию: в случаях (π±α)  и (2π±α) функция не меняется,а при (π/2±α) или (3π/2±α)  происходит смена тригонометрического выражения при аргументе.

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kak-zapomnit-formuly-privedeniya.html

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Синус половины угла формула. Формулы половинного угла в тригонометрии

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.

  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos 150 ° = − 3 2

sin 150 ° = 1 2

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

30° 45° 60° 90°
sinα 0 12 22 32 1
cosα 1 32 22 12 0
tgα 0 33 1 3 нет
ctgα нет 3 1 33 0

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β:

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Источник: https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/

Формулы половинного угла тригонометрических функций

Синус половины угла формула. Формулы половинного угла в тригонометрии

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи здесь!!!

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул.

Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `\frac{\alpha}2` через эти ж функции аргумента `\alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла.

Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Список всех формул половинного угла

Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}“cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}“tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1+cos \ \alpha}=\frac {1-cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`

`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1-cos \ \alpha}=\frac {1+cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`

Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `\frac{\alpha}2`.

Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

`sin2 \ \frac \alpha 2=\frac {1-cos \ \alpha}2“cos2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}2“tg2 \ \frac \alpha 2=\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}`

`ctg2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}`

Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `\alpha`.

Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `\alpha`, при которых определен `tg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alphae\pi+2\pi n, \ n \in Z`.

Формула котангенса выполняется для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alphae 2\pi n, \ n \in Z`.

С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `\alpha` через тангенс половинного угла.

`sin \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + tg{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alphae \pi +2\pi n, n \in Z“cos \ \alpha= \frac{1 — tg{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + tg{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha e \pi +2\pi n, n \in Z“tg \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 — tg{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha e \pi +2\pi n, n \in Z,` ` \alpha e \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z`

`ctg \ \alpha = \frac{1 — tg{2}\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha e \pi n, n \in Z,` `\alpha e \pi + 2\pi n, n \in Z`

Вывод формул половинного угла

Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos2 \alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos \alpha=1-2 \ sin2 \frac \alpha 2` и `cos \alpha=2 \ cos2 \frac \alpha 2-1`.

Выразив из первого равенства ` sin \frac \alpha 2` получим `sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos \frac \alpha 2` в результате будем иметь `cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`.

Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg \frac \alpha 2=\frac{sin\frac \alpha 2}{cos \frac \alpha 2}` и `ctg \frac \alpha 2=\frac{cos \frac \alpha 2}{sin \frac \alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

В результате будем иметь: `tg \frac \alpha 2=\frac{sin\frac \alpha 2}{cos \frac \alpha 2}=` `\frac{\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}}{\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}}=` `\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}` и `ctg \frac \alpha 2=\frac{cos\frac \alpha 2}{sin \frac \alpha 2}=` `\frac{\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}}{\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}}=` `\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}`.

Примеры использования при решении задач

Пример 1. Найти `cos 15\circ`, если известно, что `cos 30\circ=\frac{\sqrt3}2`.

Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}2`.

Подставив известные значения, имеем `cos2 15\circ=\frac {1+cos 30\circ}2=` `\frac{1+\frac{\sqrt3}2}2=\frac{2+\sqrt3}4`. Имея значение `cos2 15\circ`, найдем `cos 15\circ`.

Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15\circ=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}4}=` `\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.

Ответ. `cos 15\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.

Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos \frac {\alpha}2+2cos \alpha+5`, если `cos \alpha=\frac {1}8`.

Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4\sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}+2cos \alpha+5=4\sqrt{\frac {1+\frac {1}8}2}+2 \cdot \frac {1}8+5=` `4\sqrt{\frac {9}16}+\frac{1}4+5=8\frac{1}4`.

Ответ. `4cos \frac {\alpha}2+2cos \alpha+5=8\frac{1}4`.

Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

(4 , рейтинг: 4,00 с 5)
Загрузка…

Источник: https://matemonline.com/dh/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F/formuly-polovinnogo-ugla/

Юрист ответит
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: