Сложение и вычитание двух обыкновенных дробей. Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями

Содержание
  1. Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры
  2. Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях
  3. Действия сложения и вычитания при разных знаменателях
  4. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
  5. Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена
  6. Алгебра 7-9 классы. 14. Решение типовых заданий по теме:
  7.  Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  8. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
  9.  Умножение дробей. Возведение дроби в степень
  10. Деление дробей
  11. Преобразование рациональных выражений
  12. Сложение дробей
  13. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  14. Сложение дробей с разными знаменателями
  15. Сложение смешанных чисел или смешанных дробей
  16. Сложение и вычитание алгебраических дробей
  17. Сложение алгебраических дробей
  18. Можно складывать дроби
  19. Вычитание алгебраических дробей
  20. Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки
  21. Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом
  22. Сложение и вычитание дробей
  23. Что делать, если знаменатели разные
  24. Что делать, если у дроби есть целая часть
  25. Резюме: общая схема вычислений

Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры

Сложение и вычитание двух обыкновенных дробей. Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями

Данная статья начинает изучение действий с алгебраическими дробями: рассмотрим подробно такие действия как сложение и вычитание алгебраических дробей.

Разберем схему сложения и вычитания алгебраических дробей как с одинаковыми знаменателями, так и с разными. Изучим, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как произвести их вычитание.

На конкретных примерах поясним каждый шаг поиска решения задач.

Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях

Схема сложения обыкновенных дробей применима и для алгебраических. Мы знаем, что при сложении или вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается исходным.

К примеру: 37+27=3+27=57 и 511-411=5-411=111.

Соответственно аналогичным образом записывается правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

Определение 1

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители исходных дробей, а знаменатель записать без изменений.

Данное правило дает возможность сделать вывод, что результат сложения или вычитания алгебраических дробей – новая алгебраическая дробь (в частном случае: многочлен, одночлен или число).

Укажем пример применения сформулированного правила.

Пример 1

Заданы алгебраические дроби: x2+2·x·y-5×2·y-2 и 3-x·yx2·y-2. Необходимо осуществить их сложение.

Решение

Исходные дроби содержат одинаковые знаменатели. Согласно правилу, выполним сложение числителей заданных дробей, а знаменатель оставим неизменным.

Сложив многочлены, являющиеся числителями исходных дробей, получим: x2+2·x·y−5+3−x·y=x2+(2·x·y−x·y)−5+3=x2+x·y−2

Тогда искомая сумма будет записана как: x2+x·y-2×2·y-2.

В практике, как во многих случаях, решение приводится цепочкой равенств, наглядно показывающей все этапы решения:

x2+2·x·y-5×2·y-2+3-x·yx2·y-2=x2+2·x·y-5+3-x·yx2·y-2=x2+x·y-2×2·y-2

Ответ: x2+2·x·y-5×2·y-2+3-x·yx2·y-2=x2+x·y-2×2·y-2.

Результатом сложения или вычитания может стать сократимая дробь, в этом случае оптимально ее сократить.

Пример 2

Необходимо вычесть из алгебраической дроби xx2-4·y2 дробь 2·yx2-4·y2.

Решение

Знаменатели исходных дробей равны. Произведем действия с числителями, а именно: вычтем из числителя первой дроби числитель второй, после чего запишем результат, оставляя знаменатель неизменным:

xx2-4·y2-2·yx2-4·y2=x-2·yx2-4·y2

Мы видим, что полученная дробь – сократимая. Осуществим ее сокращение, преобразовав знаменатель при помощи формулы разности квадратов:

x-2·yx2-4·y2=x-2·y(x-2·y)·(x+2·y)=1x+2·y

Ответ: xx2-4·y2-2·yx2-4·y2=1x+2·y.

По такому же принципу складываются или вычитаются три и более алгебраических дробей при одинаковых знаменателях. К примеру:

1×5+2·x3-1+3·x-x4x5+2·x3-1-x2x5+2·x3-1-2·x3x5+2·x3-1=1+3·x-x4-x2-2·x3x5+2·x3-1

Действия сложения и вычитания при разных знаменателях

Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

К примеру, 25+13=615+515=1115 или 12-37=714-614=114.

Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

Определение 2

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо:

  • исходные дроби привести к общему знаменателю;
  • выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо осуществить тождественное преобразование заданных дробей, в результате которого знаменатели исходных дробей становятся одинаковыми. Здесь оптимально действовать по следующему алгоритму приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:

  • сначала определяем общий знаменатель алгебраических дробей;
  • затем находим дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели исходных дробей;
  • последним действием числители и знаменатели заданных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.

Пример 3

Заданы алгебраические дроби: a+22·a3-4·a2, a+33·a2-6·a и a+14·a5-16·a3. Необходимо привести их к общему знаменателю.

Решение

Действуем по указанному выше алгоритму. Определим общий знаменатель исходных дробей. С этой целью разложим знаменатели заданных дробей на множители: 2·a3−4·a2=2·a2·(a−2), 3·a2−6·a=3·a·(a−2) и 4·a5−16·a3=4·a3·(a−2)·(a+2). Отсюда можем записать общий знаменатель: 12·a3·(a−2)·(a+2).

Теперь нам предстоит найти дополнительные множители. Разделим, согласно алгоритму, найденный общий знаменатель на знаменатели исходных дробей:

  • для первой дроби: 12·a3·(a−2)·(a+2):(2·a2·(a−2))=6·a·(a+2);
  • для второй дроби:  12·a3·(a−2)·(a+2):(3·a·(a−2))=4·a2·(a+2);
  • для третьей дроби:12·a3·(a−2)·(a+2):(4·a3·(a−2)·(a+2))=3.

Следующий шаг – умножение числителей и знаменателей заданных дробей на найденные дополнительные множители:

a+22·a3-4·a2=(a+2)·6·a·(a+2)(2·a3-4·a2)·6·a·(a+2)=6·a·(a+2)212·a3·(a-2)·(a+2)a+33·a2-6·a=(a+3)·4·a2·(a+2)3·a2-6·a·4·a2·(a+2)=4·a2·(a+3)·(a+2)12·a3·(a-2)·(a+2)a+14·a5-16·a3=(a+1)·3(4·a5-16·a3)·3=3·(a+1)12·a3·(a-2)·(a+2)

Ответ:  a+22·a3-4·a2=6·a·(a+2)212·a3·(a-2)·(a+2);a+33·a2-6·a=4·a2·(a+3)·(a+2)12·a3·(a-2)·(a+2);a+14·a5-16·a3=3·(a+1)12·a3·(a-2)·(a+2).

Опиши задание

Так, мы привели исходные дроби к общему знаменателю. В случае необходимости далее можно преобразовать полученный результат в вид алгебраических дробей, осуществив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

Уточним также такой момент: найденный общий знаменатель оптимально оставлять в виде произведения на случай необходимости сократить конечную дробь.

Мы рассмотрели подробно схему приведения исходных алгебраических дробей к общему знаменателю, теперь можем приступить к разбору примеров на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Пример 4

Заданы алгебраические дроби: 1-2·xx2+x и 2·x+5×2+3·x+2. Необходимо осуществить действие их сложения.

Решение

Исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому первым действием приведем их к общему знаменателю. Раскладываем знаменатели на множители: x2+x=x·(x+1), а x2+3·x+2=(x+1)·(x+2), т.к.

корни квадратного трехчлена x2+3·x+2 это числа: -1 и -2.

Определяем общий знаменатель: x·(x+1)·(x+2), тогда дополнительные множители будут: x+2 и –x для первой и второй дробей соответственно.

Таким образом: 1-2·xx2+x=1-2·xx·(x+1)=(1-2·x)·(x+2)x·(x+1)·(x+2)=x+2-2·x2-4·xx·(x+1)·x+2=2-2·x2-3·xx·(x+1)·(x+2) и 2·x+5×2+3·x+2=2·x+5(x+1)·(x+2)=2·x+5·x(x+1)·(x+2)·x=2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)

Теперь сложим дроби, которые мы привели к общему знаменателю:

2-2·x2-3·xx·(x+1)·(x+2)+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)==2-2·x2-3·x+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)=2·2·xx·(x+1)·(x+2)

Полученную дробь возможно сократить на общий множитель x+1:

2+2·xx·(x+1)·(x+2)=2·(x+1)x·(x+1)·(x+2)=2x·(x+2)

И, напоследок, полученный результат запишем в виде алгебраической дроби, заменив произведение в знаменателе многочленом:

2x·(x+2)=2×2+2·x

Запишем ход решения кратко в виде цепочки равенств:

1-2·xx2+x+2·x+5×2+3·x+2=1-2·xx·(x+1)+2·x+5(x+1)·(x+2)==1-2·x·(x+2)x·x+1·x+2+2·x+5·x(x+1)·(x+2)·x=2-2·x2-3·xx·(x+1)·(x+2)+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)==2-2·x2-3·x+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)=2·x+1x·(x+1)·(x+2)=2x·(x+2)=2×2+2·x

Ответ: 1-2·xx2+x+2·x+5×2+3·x+2=2×2+2·x

Обратите внимание еще на такую деталь: перед тем, как алгебраические дроби сложить или вычесть, при наличии возможности их желательно преобразовать с целью упрощения.

Пример 5

Необходимо осуществить вычитание дробей: 2113·x-221 и 3·x-117-2·x.

Решение

Преобразуем исходные алгебраические дроби для упрощения дальнейшего решения. Вынесем за скобки числовые коэффициенты переменных в знаменателе:

2113·x-221=243·x-221=243·x-114 и 3·x-117-2·x=3·x-1-2·x-114

Данное преобразование однозначно дало нам пользу: мы явно видим наличие общего множителя.

Избавимся вообще от числовых коэффициентов в знаменателях. Для этого используем основное свойство алгебраических дробей: числитель и знаменатель первой дроби умножим на 34, а второй на -12, тогда получим:

243·x-114=34·234·43·x-114=32x-114 и 3·x-1-2·x-114=-12·3·x-1-12·-2·x-114=-32·x+12x-114.

Совершим действие, которое нам позволит избавиться от дробных коэффициентов: умножим полученные дроби на 14:

32x-114=14·3214·x-114=2114·x-1 и -32·x+12x-114=14·-32·x+12x-114=-21·x+714·x-1.

Наконец, выполним требуемое в условии задачи действие – вычитание:

2113·x-221-3·x-117-2·x=2114·x-1–21·x+714·x-1=21–21·x+714·x-1=21·x+1414·x-1

Ответ: 2113·x-221-3·x-117-2·x=21·x+1414·x-1.

Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена

Данное действие сводится также к сложению или вычитанию алгебраических дробей: необходимо представить исходный многочлен как дробь со знаменателем 1.

Пример 6

Необходимо произвести сложение многочлена x2−3 с алгебраической дробью 3·xx+2.

Решение

Запишем многочлен как алгебраическую дробь со знаменателем 1: x2-31

Теперь можем выполнить сложение по правилу сложения дробей с разными знаменателями:

x2-3+3·xx+2=x2-31+3·xx+2=x2-3·(x+2)1·x+2+3·xx+2==x3+2·x2-3·x-6x+2+3·xx+2=x3+2·x2-3·x-6+3·xx+2==x3+2·x2-6x+2

Ответ: x2-3+3·xx+2=x3+2·x2-6x+2.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/slozhenie-i-vychitanie-algebraicheskih-drobej/

Алгебра 7-9 классы. 14. Решение типовых заданий по теме:

Сложение и вычитание двух обыкновенных дробей. Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.

Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же

Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 1. Сложим дроби

Пример 2. Вычтем дроби

Пример 3. Упростим выражение

Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не последовательно, а совместно:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 1. Сложим дроби

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен . Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны .

Имеем

Пример 2. Преобразуем разность

Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

Простейшим общим знаменателем служит выражение Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 3. Упростим выражение

Представим выражение а – 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

 Умножение дробей. Возведение дроби в степень

При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например:

Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило умножения рациональных дробей:

чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример 1. Умножим дробь на дробь

Воспользуемся правилом умножения дробей:

Пример 2. Умножим дробь на дробь

Имеем

Пример 3. Представим произведение в виде рациональной дроби.

Имеем

Пример 4. Умножим дробь на многочлен

При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило умножения дробей:

Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и более рациональных дробей. Например:

Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Рассмотрим выражение , являющейся  n-й степенью  рациональной дроби и докажем, что

По определению степени имеем

Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим

Следовательно , 

Из доказанного тождества следует правило возведения рациональной дроби в степень:

чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

Пример 5. Возведем дробь в третью степень.

Воспользуемся правилом возведения в степень:

Деление дробей

При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например:

Так же поступают при делении любых рациональных дробей:

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

Это равенство выражает правило деления рациональных :

чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 1. Разделим дробь на дробь .

Воспользуемся правилом деления дробей:

Пример 2. Разделим дробь на дробь

Имеем

Пример 3. Разделим дробь на многочлен a + 3.

При делении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило деления дробей:

Преобразование рациональных выражений

 Рациональное выражение представляет собой частное от деления суммы рациональных дробей многочлен.

Деление на  можно заменить умножением на дробь Поэтому преобразование данного выражения сводится к сложению дробей и умножению результата на дробь  Вообще преобразование любого рационального выражения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей.

Из правил действий с дробями следует, что сумму, разнос произведение и частное рациональных дробей всегда можно предс вить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение

Сначала выполним умножение дробей, затем полученный результат вычтем из многочлена x + 1:

Запись можно вести иначе:

Пример 2. Представим выражение

в виде рациональной дроби.

Сначала сложим дроби, заключенные в скобки, затем найденный результат умножим на дробь и, наконец, к полученному произведению прибавим 1:

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1878-algebra-7-9-klassy-14-reshenie-tipovykh-zadanij-po-teme-drobnye-ratsionalnye-vyrazheniya

Сложение дробей

Сложение и вычитание двух обыкновенных дробей. Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Решение:

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти общий знаменатель, а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как найти общий знаменатель можно посмотреть здесь, нажав на ссылку>>

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей

Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

Решение:

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\)  б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\)   б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\)  б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\)  в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

Решение:

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Источник: https://TutoMath.ru/5-klass/slozhenie-drobej.html

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Сложение и вычитание двух обыкновенных дробей. Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями

Алгебраические дроби складывают и вычитают по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
  2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а», значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные.

Вычитание алгебраических дробей

Запомните!

Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
  2. знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с», значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби «(a − b)». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

Вынесем общий множитель «а» за скобки в обоих знаменателях.

После вынесения общего множителя «а» за скобки, в обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а». Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».

Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».

Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».

Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/algebraic_fractions/addition_and_subtraction_algebraic_fractions.php

Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание двух обыкновенных дробей. Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями

30 июля 2011

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Задача. Найдите значение выражения:

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

  1. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
  2. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
  3. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

  1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
  2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
  3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
  4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/addition_subtraction/

Юрист ответит
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: